– مدل­های مرکب (اتورگرسیو و میانگین متحرک) ARIMA

 مدل­های مرکب (اتورگرسیو و میانگین متحرک) ARIMA

روشی که هم از تکنیک اتورگرسیو و هم میانگین متحرک برای پیش بینی استفاده می­کنند توسط جورج باکس و ویلیم جنکینز مطرح شده است و به روش باکس- جنکینز معروف است. مدل اصلی به صورت زیر است:

در این فرمول،  و و  پارامترهای مدل و  مقدار مولفه اشتباه تصادفی برای دوره t ام  می­باشد. در اوّلی، مقدار فعلی  بر روی p مشاهده قبلی … و  اتورگرسیون می­شود. این مولفه قسمت اتورگرسیو مدل (AR) را نشان می­دهد.

در دومی، مولفه­های اشتباه تصادفی برای رگرسیون بر روی مقدار فعلی  بکار می­روند. می­توان به صورت جبری نشان داد که این جزء برابر فرآیند میانگین متحرک در اجزاء اشتباه تصادفی، یعنی، … و  است. بنابراین این جزء نشان دهنده بخش میانگین متحرک مدل (MA) است. این مدل را به طور کلی مدل ARIMA(p,q) گویند، که به این معناست که داریم بر روی p مشاهده اخیر و q مولفه اشتباه اخیر عمل اتورگرسیون را انجام می­دهیم. به عنوان مثال مدل (0 و 2)ARIMA به صورت زیر است.

یا مدل (1و1) ARIMA به صورت زیر است:

مولفه اشتباه در دوره tام یعنی  باید دارای توزیع نرمال باشد و بعلاوه مستقل از سایر مولفه­های اشتباه و دارای واریانس مشابه سایر مولفه­های اشتباه باشد.

برای استفاده از مدل باکس- جنکینز، سری زمانی  که در آن  است باید ایستا باشد.

منظور از ایستا آن است که مقادیر آن در اطراف یک میانگین ثابت  نوسان داشته باشد. اگر سری­های اصلی ایستا نباشند، در آن صورت برای ایجاد سری­های ایستا باید از تبدیل استفاده کرد. اغلب تفاوت یابی سبب به وجود آمدن سری­های ایستا می­شود. تفاوت­های اوّل به صورت زیر تعریف می­شوند.

تفاوت­های دوم به صورت زیر تعریف می­شوند.

بعد از آنکه سری­های ایستا ( ) به دست آمدند، برمبنای آن­ها عمل پیش بینی صورت می­گیرد. سپس پیش بینی برای سری­های اصلی با حل معادلات تفاوت برای  صورت می­گیرد. گاهی اوقات  است، این مطلب بدان معناست که سری­های اصلی ایستا هستند، امّا این امر در عمل به ندرت اتفاق می­افتد. (فرشاد فر، 263:1381)

 

 

4-3- تحلیل روند با استفاده از آزمون MANN- KENDALL

اين آزمون ابتدا توسطMANN در سال 1945 ارائه شد و سپس توسط KENDALL در سال 1966 توسعه يافت. اين روش در همان سال­ها مورد تائيدWMO قرار گرفت. همانند ساير آزمون­هاي آماري ، اين آزمون نيز بر مبناي مقايسه فرض صفر و يک بوده و در نهايت در مورد پذيرش يا رد فرض صفر تصميم گيري مي­نمايند. فرض صفر اين آزمون مبتني بر تصادفي بودن و عدم وجود روند در سري داده­هاست و پذيرش فرض يک (رد فرض صفر) دال بر وجود روند در سري داده­ها مي­باشد.

مراحل محاسبه ی آماره­ی آزمون به این شرح است:

الف)  محاسبه اختلاف بين تک تک جملات سري با همديگر و اعمال تابع  sgnو استخراج پارامتر s

رابطه شماره( 13 ) فرمول محاسبه اختلاف تک تک جملات سری با همدیگر

n تعداد جملات سري

xj دادهj  ام سري

xk  داده k ام سري

تابع  sgnنيز به شرح زير تعريف مي­گردد:

رابطه شماره ( 14 ) فرمول محاسبه تابع sgn

ب) محاسبه واريانس با استفاده از رابطه زير:

رابطه شماره ( 15 ) فرمول محاسبه واریانس  اگر n >10

اگر n >10

n تعداد داده­ها

m  تعداد سري­هايي است که در آن­ها حداقل يک داده تکراري وجود دارد

t فراواني داده­هاي با ارزش يکسان

رابطه شماره ( 16 ) فرمول محاسبه واریانس اگر 10 n

 

اگر 10 ≥ n

 

ج )  استخراج آماره آزمون Z  به کمک يکي از روابط زير:

رابطه شماره ( 17 ) فرمول استخراج آماره آزمون Z

 

S پارامتر محاسبه شده در فرمول (1) مي­باشد

رابطه شماره ( 18 ) محاسبه S پارامتر محاسبه شده در فرمول شماره 22

اگر رابطه زير برقرار باشد فرض صفر پذيرفته مي­شود

در صورتي که آماره z مثبت باشد روند صعودي و در صورت منفي بودن آن روند نزولي در نظر گرفته مي شود.

 

سطح معني داري است که براي آزمون در نظر گرفته مي­شود که معمولاً اين آزمون براي سطوح معني دار 95% و 99%  به انجام مي­رسد.

در اين روش، مقادير متوالي از مقدار Ui و U’i  حاصله از آزمون من كندل به صورت گرافيكي نمايش داده مي شود كه اگر مقادير  Uiو U’i  از منحني­ها چندين بار روي همديگر قرار بگيرند روند يا تغييري وجود نخواهد داشت ولي در جايي كه منحني­ها همديگر را قطع مي­كنند منحني­ها محل شروع روند يا تغييرات را به صورت تقريبي به نمايش مي­گذارند. اگر منحني­ها همديگر را در داخل محدوده قطع كنند نشانه زمان آغاز تغيير ناگهاني و در صورتي كه خارج از محدوده بحراني همديگر را قطع كنند بيانگر وجود روند در سري­هاي زماني است.

 

 

4-4- تجزیه و تحلیل رگرسیون

تجزیه و تحلیل همبستگی معمولا در رابطه با تکنیکی به نام رگرسیون انجام می­گیرد. موقعی که مشاهدات حاصل از دو متغییر رابطه بی­خطی داشته باشند و اگر خط مستقیمی را بتوان رسم کرد تا گرایش عمومی آن­ها را نشان بدهد. درباره­ی رابطه­ی آن دو متغییر ممکن است دو مسأله زیر آشکار گردد: اولا شدت رابطه را می­توان از میزان دوری و نزدیکی نقاط به خط برآورد نمود. اگر نقاط به خط خیلی نزدیک باشند، همبستگی بین متغییرها زیاد خواهد بود و هر اندازه نقاط از خط فاصله بگیرند همبستگی ضعیف خواهد شد.

ثانیا˝موقعیت خود خط، اطلاعاتی را درباره­ی نوع رابطه­ای که بین متغییرها وجود دارد در اختیار ما قرار خواهد داد؛ بدین ترتیب، مقدار تغییری که در یک متغییر با اثر گذاری متغییر دیگر انتظار می­رود، معلوم می­گردد. فرایند تصمیم گیری، در مورد اینکه کدام خط دقیقا بهترین خط  برای تلخیص یک مجموعه­ی ویژه­­ یی از نقاط است، تجزیه و تحلیل رگرسیون خوانده می­شود. (جباری، 1384­:218)

 

 4-4-1- خط رگرسیون بهترین برازش

اگر متغییرهای وابسته ومستقل بر روی نموداری رسم شوند، در مرحله­ی بعدی باید تصمیم گرفت که کدام خط مستقیمی را باید از میان نقاط معین عبور داد تا بتواند به بهترین وجه ممکن گرایش نقاط را نشان بدهد. به قاعده­ی ویژه­ای نیاز است تا بر اساس آن موقعیت خطی تعیین شود که تا حد امکان به همه­ی نقاط نزدیک باشد. اگر چنین خطی به میزان ناچیزی به سمت بالا یا پایین حرکت کند، کاهش بعضی فاصله­ها ممکن است دقیقا به­ وسیله­ی افزایش فواصل دیگر در سمت مقابل خط جبران شود، به نحوی که موقعیت خط بهترین برازش یکنواخت نخواهد بود. هدف از ترسیم خط رگرسیون در واقع تلخیص یک رابطه می­باشد؛ درست شبیه میانگین که یک مجموعه اعداد را تلخیص می­نمایید. این خط نه تنها بیان می­کند که چگونه متغییر به طور متوسط به تغییرات در متغییرx وابسته است، بلکه می­تواند برای آزمون این تئوری که Y به ویژه باید به X وابسته باشد، استفاده شود. به علاوه با استفاده از معادله خط می­توان به ازاء هر مقدار X ، مقدار Y مورد انتظار را پیش بینی نمود. (همان منبع، 221)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

فصل پنجم

یافته­های پژوهش

 

 

 

 

 

 

 

 

5-1- مقدمه

در این فصل با استفاده از روش آمار توصیفی به توصیف وتفسیر متغیر بارش در ایستگاههای مورد مطالعه پرداخته می­شود و همچنین به تجزیه وتحلیل روش­های آماری توضیح داده شده در فصل 4 وتحلیل جداول و نمودارهای محاسبه شده از آزمون­های آماری من کندال و سری زمانی و همچنین تطبیق روند در ایستگاهها پرداخته شده است.

 

5-2- آماره­های توصیفی بارش ایستگاههای مورد مطالعه

نتايج بررسي آماره­هاي توصيفي بارش ماهانه در طول دوره آماري (2012- 1988)  ايستگاه­هاي مورد مطالعه در جداول شماره 4-1 تا 4-5 نشان مي­دهند که بيشترين ميانگين بارش در ايستگاه­های،­ کرمانشاه متعلق به ماه اسفند (61/62)، اسلام آباد متعلق به ماه بهمن (11/76)، کنگاور متعلق به ماه فروردین (99/57)، روانسر متعلق به ماه اسفند (42/80)، سرپل ذهاب متعلق به ماه بهمن (20/70) و کمترين ميانگين بارش در ایستگاه­های، کرمانشاه متعلق به ماه مرداد (34/0)، اسلام اباد متعلق به ماه مرداد (72/0)، کنگاور متعلق به ماه مرداد (28/0)، روانسر متعلق به ماه مرداد (08/0) و سرپل ذهاب متعلق به ماه مرداد (05/0) مي­باشد. انحراف معيار مجموع بارش در ماه مرداد در تمام ايستگاه­ها به کمترين حد خود رسيده است(ايستگاه کرمانشاه 12/1، اسلام­آبادغرب 63/0، روانسر 32/0، سرپل­ذهاب 24/0 و کنگاور 90/0 ميلي­متر). اين پارامتر در ايستگاه­هاي کرمانشاه، اسلام­آباد­غرب، روانسر ، کنگاور و سرپل ذهاب در ماه اسفند به ترتيب 68/44 ، 62/51، 69/55، 26/35، 77/52 ميلي­متر بيشترين انحراف معيار را به خود اختصاص داده است. نتايج اين بررسي مبين اين است که در فصل زمستان انحراف معيارها بيشتر از ماه­هاي دیگر است. اين امر نشان دهنده­ي تغييرات بیشتر بارش در ماه­هاي زمستان نسبت به ساير فصول و مبين ورود بيشتر توده هوا­هاي مختلف و باران­زا در ماه­هاي زمستان نسبت به فصل بهار، پاییز و بطور ویژه تابستان در ايستگاه­هاي مورد مطالعه مي­باشد.

 

 

در ايستگاه­هاي اسلام­آبادغرب، سرپل­ذهاب و کنگاور در تمام ماه­هاي سال ضريب چولگي مثبت می­باشد یعنی میزان بارش کمتر فراوانی بیشری دارد  و در ايستگاه کرمانشاه در ماه بهمن و در ایستگاه روانسر در ماه دی ضريب مذکور منفي و در ساير ماه­ها مثبت است. اين مسأله مبين اين است که میزان بارش بیشتر، فراواني بيشتري نسبت به ساير مقادير دارند. با توجه به آزمون چولگي، توزيع داده­هاي ماه­هاي ژانويه، فوريه، دسامبر در تمام ايستگاه­هاي مورد مطالعه و ماه­هاي مارس آوريل در ايستگاه­هاي اسلام­آبادغرب، روانسر، سرپل­ذهاب و کنگاور و ماه مي در ايستگاه­هاي کنگاور و روانسر نزديک به نرمال است.

در ايستگاه­های کرمانشاه، اسلام­آباد غرب، روانسر و کنگاور دی ماه، ايستگاه­های کرمانشاه ، اسلام­آبادغرب، روانسر و سرپل ذهاب اسفند ماه، ايستگاه­های سرپل ذهاب، روانسر و کنگاور ماه­ اردیبهشت ايستگاه­های اسلام­آباد غرب و کنگاور ماه­ فروردین از ضريب کشيدگي منفي برخوردارند و ساير ماه­ها ضريب مذکور مثبت مي­باشد. منفی بودن نشان دهنده پهن بودن توزیع نسبت به توزیع نرمال استاندارد می باشد به عبارتی می توان گفت فراوانی بارش زیاد در این ماه­ها بسیار کم می­باشد.

بيشترين ضریب تغييرات سالانه بارش در ايستگاه ­سرپل ذهاب (38/27) و کمترین (20/22) مربوط به ایستگاه کرمانشاه می­باشد. نزدیک بودن این ضرایب به یکدیگر نشان دهنده این است که داده­ها پراکندگی کمی نسبت به یک­دیگر دارند.

هيستوگرام توزيع فراواني ماهانه پارامترهاي بارش و تعداد روزهاي با بارندگي بيش از صفر ميلي­متر ايستگاه­ها در نمودارهایی در پایین جدول­ها اراﺋﻪ شده است. با توجه از نمودارهاي مذکور، مي­توان نحوه توزيع داده­ها در بازه­هاي مختلف، برازش منحني نرمال بر اين داده­ها را به تفکيک زماني معين نمود.